小学数学 · 5 年级下册 · 第四单元

长方体(二)到底考什么？

体积意义 + 3 个常用单位 + 单位换算(进率 1000) + 体积与容积 + 排水法操作, 一张图把第二单元没讲完的「立体几何深入」补齐。
📘 本单元讲体积 + 排水法;形状 / 表面积 / 切拼挖空 → 详见 第二单元《长方体(一)》

📐 北师大版 · 5 年级下册 🎯 几何与图形 深入 📊 4 大子主题
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这一页,你要掌握 6 件事
6 Key Ideas at a Glance
📦
体积是什么
What is Volume
📏
3 个常用单位
m³ · dm³ · cm³
🔄
单位换算 (进率 1000)
Unit Conversion
🥤
体积 vs 容积
Volume & Capacity
🛢️
生活中的应用
Real-life Use
🚰
排水法操作
Displacement
01
体积是什么:物体所占空间的大小
What is Volume

体积 = 物体所占空间的大小。想象把一个物体放进一个装满水的水槽,水被"挤"出去的水量 = 物体体积。

对比 面积 体积
含义 平面的大小(几平方米) 立体的大小(几立方米)
维度 2 维(长 × 宽) 3 维(长 × 宽 × 高)
单位 m², dm², cm² m³, dm³, cm³
进率 相邻 × 100 相邻 × 1000 (10³)

📝 体积的 3 个性质

  • 可加性:多个物体合起来的体积 = 各体积之和(体积能"加")
  • 不可分割为零:体积是连续的,可以无限细分,但总和不减少(没有最小单位)
  • 单位统一原则:算之前必须先转同一单位(比如 m + cm + dm 混合,要先全转 cm)
💡 例:一个 30 cm × 20 cm × 10 cm 的收纳箱,体积 = 30 × 20 × 10 = 6000 cm³;合多少 dm³?1 dm³ = 1000 cm³,所以 = 6000 ÷ 1000 = 6 dm³。
02
3 个常用体积单位:m³ / dm³ / cm³
Three Common Volume Units

小学阶段只需要掌握 3 个体积单位:立方米、立方分米、立方厘米。每个单位都是"边长 1 单位的正方体"。

单位 符号 有多大(实物比喻) 适用场景
立方米 m³ 边长 1 m 的正方体(约一台洗衣机大小) 游泳池、教室、卡车车厢
立方分米 dm³ 边长 1 dm 的正方体(约一个粉笔盒大小) 水桶、纸箱、热水瓶
立方厘米 cm³ 边长 1 cm 的正方体(约一个骰子大小) 药瓶、文具盒、火柴盒

🤏 实物大小对照(让孩子用手感知)

  • 1 cm³:手指甲盖大小。1 个骰子。
  • 1 dm³:成人的拳头大小。一个粉笔盒。一个 1 L 的牛奶盒。
  • 1 m³:一个大型行李箱大小。一台滚筒洗衣机。
💡 例:1 桶 5 L 的色拉油,合多少 dm³?1 L = 1 dm³,所以 5 L = 5 dm³。合多少 m³?5 ÷ 1000 = 0.005 m³。
03
体积单位换算(进率永远 1000)
Unit Conversion · 1 m³ = 1000 dm³

长度进率 10,面积进率 100,体积进率 1000 (10³)。这是体积换算的核心,必须死记。

1 m = 10 dm  →  1 m² = 100 dm²  →  1 m³ = 1000 dm³
高级单位 → 低级单位:× 进率 (数字变大)  |  低级单位 → 高级单位:÷ 进率 (数字变小)

🌉 桥接容积单位(必背 3 条)

桥接关系 说明
1 L = 1 dm³ 1 升的液体 = 边长 1 dm 的正方体空间。1 L 牛奶盒 ≈ 1 dm³。
1 mL = 1 cm³ 1 毫升的液体 = 边长 1 cm 的正方体空间。1 滴眼药水 ≈ 0.05 mL。
1 L = 1000 mL 升和毫升的进率也是 1000(同一体积家族的进率一致)。

📊 完整换算口诀

1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 1000 L = 1 000 000 mL
  • m → dm:× 1000  |  dm → cm:× 1000  |  cm → mm:× 1000
  • m³ → dm³:× 1000  |  dm³ → cm³:× 1000  |  cm³ → mm³:× 1000
  • 1 m³ = 1000 × 1000 = 1 000 000 cm³(三级跳,小心别算成 1000)
  • 1 L = 1 dm³,1 mL = 1 cm³,所以 L ↔ mL 进率也是 1000
💡 例 · 3 道经典换算:
① 2.5 m³ = ? dm³ = 2.5 × 1000 = 2500 dm³
② 3000 cm³ = ? dm³ = 3000 ÷ 1000 = 3 dm³
③ 0.4 m³ = ? L = 0.4 × 1000 = 400 L(注意 1 m³ = 1000 L)
04
体积 vs 容积 + 生活中的应用
Volume vs Capacity · Real-life Use
对比 体积 容积
含义 物体本身占空间的大小 容器内部能装多少
测量 从外面量 从里面量
常用单位 m³ · dm³ · cm³ L(升) · mL(毫升)
大小关系 同一物体,体积 ≥ 容积 同一物体,容积 ≤ 体积(差壁厚)
桥接 1 L = 1 dm³    1 mL = 1 cm³    1 L = 1000 mL

🛢️ 体积在生活中的应用(选单位)

场景 合适单位 典型大小
游泳池(50 m 标准池) m³ 50 × 25 × 2 = 2500 m³
教室空气体积 m³ 9 × 6 × 3.5 ≈ 190 m³
家用轿车后备厢 dm³ / L 约 400 L = 400 dm³
大卡车车厢 m³ 约 10 m³(装 10 吨沙)
5 L 食用油桶 L / dm³ 5 L = 5 dm³
眼药水瓶 mL / cm³ 10 mL = 10 cm³

📝 选单位口诀

  • 看东西有多大:比 1 米大用 m³;比 1 分米大用 dm³ / L;比 1 厘米大用 cm³ / mL
  • 看是什么东西:液体优先用 L / mL;固体/气体用 m³ / dm³ / cm³
  • 看题目问的:问"装多少水"用容积单位;问"占多大空间"用体积单位
💡 例 · 3 道单位应用题:
① 一个 8 m × 5 m × 3 m 的教室,空气体积 = 8 × 5 × 3 = 120 m³
② 一个能装 0.5 m³ 水的热水瓶,合多少升?0.5 × 1000 = 500 L
③ 一瓶 50 mL 的止咳糖浆,合多少 cm³?1 mL = 1 cm³, 所以 = 50 cm³
05
排水法:不规则物体的体积(2 种方法)
Water Displacement · 2 Methods

不规则物体(如石头、苹果、橡皮泥团)无法直接量长宽高,需要用排水法(阿基米德原理)。物体排开水的体积 = 物体体积。

V物体 = V后 − V前 = 水面上升的体积

🥇 方法 1:量筒法(小物体)

  • 步骤 1:量筒里装足够水(让物体能完全浸没),记读数 V前
  • 步骤 2:用细线/铁丝系住物体,小心完全浸没到水中(不能碰到量筒壁/底)
  • 步骤 3:看新的水位,记 V后
  • 步骤 4:V物体 = V后 − V前

🥈 方法 2:溢水杯法(大物体或易吸水的)

  • 步骤 1:溢水杯装满水至溢水口(刚刚好不溢出)
  • 步骤 2:将物体完全浸入溢水杯,被排出的水从溢水口流出
  • 步骤 3:用小量筒接住溢出的水,读数 = 物体体积
  • 适合:太大放不进量筒、易吸水(不怕泡水)、形状不规则的大物体

🪶 浮力问题:物体浮起来怎么办?

如果是石蜡、木头、塑料这种比水轻的物体,放进水里会浮起来,排水法测不准。解法:

  • 用细绳/铁丝系住物体,另一头拉住,强制压入水中
  • 用大头针/筷子按住物体,让物体完全浸没
  • 先在物体上绑一个重物(比如铁块),让物体总重量大于浮力
  • 关键:无论用哪种方法,必须保证物体完全浸没,否则 V后 − V前 偏小

💧 易吸水物体怎么办?

  • 如果物体轻微吸水:先让物体完全吸饱水再做排水法(否则吸进去的水不排出,体积偏大)
  • 如果物体大量吸水(如海绵):用溢水杯法(物体直接放进溢水杯,吸进去的水不影响排出量)
  • 如果物体溶于水(如糖块):用细沙/面粉代替水(把物体埋进沙里,沙填满物体占据的空间,沙子减少的体积 = 物体体积)
💡 3 道经典例题:
① 量筒法:量筒水 100 mL,放土豆后 150 mL,土豆 = 50 cm³
② 溢水杯法:溢水杯满水,大石头浸入后小量筒接 80 mL,石头 = 80 cm³
③ 浮力法:石蜡浮起,用针压入水中,水位上升 40 mL,石蜡 = 40 cm³
!
5 个最容易踩的坑
5 Common Pitfalls
✗
1 m³ = 100 dm³(类比 1 m² = 100 dm²) 👉 1 m³ = 1000 dm³(进率 1000,不是 100!) 长度 10,面积 100,体积 1000 (10³)。差一位数就差 10 倍。
✗
1 L = 1 cm³(都带"立方",单位一样) 👉 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³(1 L 比 1 cm³ 大 1000 倍!) 1 L 是个大单位(粉笔盒大小),1 cm³ 是个小单位(骰子大小)。两者差 1000 倍。
✗
单位混合算:m + cm 不转直接乘 👉 先全转同一单位,再算 例:长 2 m 宽 30 cm 高 4 dm,必须先全转 cm:200 × 30 × 40,然后再算。混单位算会差 10/100/1000 倍。
✗
浮起来的物体排水法:V物体 = V前 − 0 👉 必须用针/铁丝把物体压入水中,V物体 = V后 − V前 浮起来的物体不强制浸没,V后 读数会偏小,算出来体积偏小。
✗
易吸水物体直接量筒法:V后 − V前 = 物体体积 👉 用溢水杯法,或先让物体完全吸饱水 海绵等物体没吸饱水时,排水法测得的是"物体+吸入水"的体积,比真实物体体积大。
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TL;DR · 这一页先记住这 3 件事
The 3 Things to Remember
① 体积 Volume
物体占空间的大小。3 维(m³/dm³/cm³)。体积 = 物体本身大小,容积 = 容器内部空间(差壁厚)。
② 进率 1000
长度 10,面积 100,体积 1000 (10³)。1 L = 1 dm³,1 mL = 1 cm³,1 L = 1000 mL。混单位必先转。
③ 排水法 Displacement
V物体 = V后 − V前。小物体用量筒,大物体/易吸水用溢水杯,浮起来的要用针压入。
📐 长方体(二) = 体积 + 进率 1000 + 排水法;
体积算"占多大空间",单位必先统一再算,排水法就是不规则物体的"丈量工具"。

📘 参考:北师大版《数学》5 年级下册 · 第四单元「长方体(二)」 · 编排: WANG DI

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