从 把圆分割拼成长方形 到 推导公式 S = πr²，再到 半径与面积的平方倍数关系。
为了计算圆的面积，我们将圆沿半径分成若干等份（如 16 等份或 32 等份），展开后把小扇形上下交错拼接，拼成一个近似的平行四边形或长方形。
• 极限思想：分割的份数越多（扇形越小），拼成的图形就越接近长方形！
1. 拼成的长方形的长等于圆周长的一半：长 = C ÷ 2 = πr
2. 拼成的长方形的宽等于圆的半径：宽 = r
3. 因为 长方形面积 = 长 × 宽
4. 所以 圆的面积 S = πr × r = πr²！
直接代入公式计算：
S = πr²
先求半径 r = d ÷ 2，再求：
S = πr² = π × (d/2)²
先求半径 r = C ÷ (2π)，再求：
S = πr²
| r | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| r² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| πr² | 3.14 | 12.56 | 28.26 | 50.24 | 78.5 | 113.04 | 153.86 | 200.96 | 254.34 | 314 |
如果一个圆的半径扩大到原来的 k 倍（或直径扩大到 k 倍）：
• 圆的周长也扩大到原来的 k 倍（线性关系）。
• 圆的面积则扩大到原来的 k² 倍（平方关系）！
示例：半径扩大 3 倍，周长扩大 3 倍，面积扩大 3² = 9 倍！
错误算式：当 r = 5 时，错误地把 5² 算成 5 × 2 = 10。
正确诊断：r² 表示两个 r 相乘（r × r），即 5² = 5 × 5 = 25！
满分规范：S = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5！
错误算式：已知直径 d = 4 cm，直接计算 S = 3.14 × 4² = 50.24 cm²。
正确诊断：求面积公式中的 r 是半径，必须先计算 r = d ÷ 2 = 2 cm！
满分规范：r = 2 cm，S = 3.14 × 2² = 12.56 cm²！
错误单位：把求得的面积单位写成长度单位（如 cm），或周长单位写成 cm²。
满分规范：周长是长度，单位用 cm、m；面积是平面大小，单位必须用面积单位 cm²、m²！