小学数学 · 5 年级下册 · 第二单元

长方体(一)到底考什么？

本单元讲形状 + 表面积:6 面 / 12 棱 / 8 顶点 + 表面积 5 情境 + 11 展开图 + 切拼挖空 + 露在外面 + 涂色切小。
📘 体积公式 / 单位换算 / 排水法 → 详见第四单元《长方体(二)》

📐 北师大版 · 5 年级下册 🎯 几何与图形 · 形状 & 表面积 📊 4 大子主题

▦

这一页,你要掌握 6 件事

6 Key Ideas at a Glance

🧊

认识长方体

Faces · Edges · Vertices

🎲

正方体是特殊的它

Cube = Special Cuboid

📦

表面积 + 5 情境

Surface Area · 5 Cases

📄

11 种展开图

11 Nets

✂️

切拼 + 挖空

Cut & Hollow

🎨

露在外面 + 涂色切小

Exposed & Color Cut

认识长方体:6 面 · 12 棱 · 8 顶点

Anatomy of a Cuboid

长方体是由 6 个长方形面(特殊情况下有 2 个正方形)围成的立体图形。所有公式都从 6 / 12 / 8 这 3 个数字出发。

6 个面:分 3 组,相对的面完全相同(都是长方形,特殊时 2 个正方形)。3 组对面:上下面 / 前后面 / 左右面。
12 条棱:分 3 组,每组 4 条等长(长 × 4 条、宽 × 4 条、高 × 4 条)。
8 个顶点:3 条棱交汇的地方,3 组对面交叉的「角」。

棱长总和 = 4 × (长 + 宽 + 高) = 4长 + 4宽 + 4高

🔍 推导:12 条棱分 3 组(长方向 4 条、宽方向 4 条、高方向 4 条),各取 1 条加起来 = 长 + 宽 + 高,再乘 4(每组 4 条)。例:用 36 cm 铁丝做长 6 cm 宽 2 cm 的长方体框架,高 = 36÷4 − 6 − 2 = 1 cm。

📝 快速记忆法(精准版)

6 面 = 上下面 (a×b) × 2 + 前后面 (a×h) × 2 + 左右面 (b×h) × 2
12 棱 = 4 条长 + 4 条宽 + 4 条高(共 3 组,每组 4 条等长)
8 顶点 = 上面 4 个 + 下面 4 个(上下各一排)
棱长总和 = 4 × (长 + 宽 + 高) (3 组各取 1 条加起来,再乘 4)

正方体:长方体家族里的「特殊成员」

A Cube is a Special Cuboid

当长方体的 长 = 宽 = 高 时,它就变成了正方体(也叫立方体)。也就是说,正方体是"长方体家族"里"长宽高全相等"的那个特例。

对比项	长方体	正方体
6 个面	3 组对面相等(都是长方形,也可能 2 个正方形)	6 个面完全相同(都是正方形)
12 条棱	3 组,每组 4 条等长(长 / 宽 / 高三种长度)	12 条棱长度都相等
8 个顶点	✓	✓(也是 8 个)
长宽高	长、宽、高三者不一定相等	长 = 宽 = 高 = 棱长 `a`
关系	一般图形	长方体的特殊情况
棱长总和	`4(a + b + h)`	`12a`
表面积	`2(ab + ah + bh)`	`6a²`

🔍 判断口诀:6 个正方形面 → 正方体。考试常考"长方体包括正方体吗?"——包括,正方体是特殊长方体。例:正方体棱长总和 60 cm,棱长 = 60÷12 = 5 cm。

表面积:6 个面的「总面积」+ 5 情境 + 11 展开图

Surface Area · 5 Cases · 11 Nets

表面积 = 长方体 6 个面的面积之和。想象给一个快递盒"糊一层纸",需要多少面积的纸?就是表面积。

长方体: S = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 2(ab + ah + bh)

正方体: S = 6 × 棱长² = 6a²

🎯 5 种表面积情境(考试必考变形)

🎁 全封闭 · 礼品盒 6 个面

S = 2(ab + ah + bh)

例:长 5 cm 宽 4 cm 高 3 cm 的礼品盒,S = 2×(5×4 + 5×3 + 4×3) = 2×47 = 94 cm²。

🐟 无盖 · 金鱼缸 / 木箱 5 个面

S = 2(ab + ah + bh) − ab

例:长 8 dm 宽 5 dm 高 4 dm 无盖鱼缸,S = 8×5 + 2×(8×4 + 5×4) = 40 + 104 = 144 dm²。

🏭 无上下底 · 烟囱 / 通风管 4 个侧面

S = 2(a + b)h

例:横截面 3 dm × 3 dm 正方形、长 1.5 m 的烟囱,S = 4 × 3 × 15 = 180 dm²(1.5 m = 15 dm)。

🏫 粉刷 · 教室 (4 墙 + 顶) 5 个面

S = ab + 2(ah + bh) − 门窗

例:教室长 8 m 宽 6 m 高 3.5 m,门窗+黑板 12 m²,粉刷面积 = 8×6 + 2×(8×3.5 + 6×3.5) − 12 = 134 m²。

🏊 游泳池 · 贴瓷砖 (4 壁 + 底) 5 个面

S = ab + 2(ah + bh)

例:长 20 m 宽 10 m 深 2 m 泳池,贴瓷砖面积 = 20×10 + 2×(20×2 + 10×2) = 200 + 120 = 320 m²。

💡 做题口诀:看到题目先判断"几个面"——
① 全封闭(没说特殊):6 个面 ② 无盖(鱼缸/木箱/粉刷顶):5 个面 = S − 一个顶面 ③ 无前(衣柜门):5 个面 = S − 一个前面 ④ 烟囱/通风管(无上下):4 个侧面 = 2(a+b)h

📐 长方体(正方体)的展开图:把 6 个面拆开平铺,共有 11 种不同的展开图,大致分 4 大类(1-4-1 型 8 种、1-3-2 型 3 种、2-2-2 型 1 种、3-3 型 1 种)。小学阶段重点掌握最常见的 1-4-1 标准型(中间 4 个面 + 上下各 1 个面在中间),其他变体只考判断,不需要全画。

切拼 + 挖空:形状的「手术与挖洞」

Cut · Hollow

把一个长方体切开、合上、挖掉一块,表面积会变,体积怎么变?有规律。

✂️ 切拼:切一刀多 2 面 / 合一块少 2 面

操作	体积	表面积
切 1 刀(沿平面)	变(2 块小长方体体积和 = 原体积)	+ 2 个切口面
切 N 刀(沿不同平面)	变(每切 1 刀,2 块体积和不变)	+ 2N 个面
合 1 块(2 个贴一起)	不变(总体积)	− 2 个接触面
合 N 块(N 个贴一起)	不变	− 2(N−1) 个接触面

💡 例 1 · 切:长 8 cm 宽 6 cm 高 4 cm 的长方体,从中间横切 1 刀分成 2 个 4×6×4 小长方体。表面积增加 2 个切口面 = 2 × 8 × 6 = 96 cm²,变成 2×(8×6+8×4+6×4) + 96 = 208 + 96 = 304 cm²。
例 2 · 合:3 个 2×2×2 的小正方体拼成一排变成 6×2×2 的长方体。原来 3×6×4 = 72 cm²,拼后 2×(12+12+4) = 56 cm²,减少 16 cm²(2 次接触 × 2 面 × 4 cm² = 16)。

🕳️ 挖空:从长方体里"挖掉"一块

从一个长方体中间挖掉一个小的长方体(或者挖一个方形孔),求体积和表面积。常见 3 种挖法:

挖法	新体积	新表面积
① 挖中间一个方洞 (从头到底挖穿)	V_新 = V_大 − V_小洞	S_新 = S_大 + 2×挖洞内壁面积 − 2×挖掉的顶/底面
② 挖一个不穿通的方坑 (只在上面挖)	V_新 = V_大 − V_小坑	S_新 = S_大 + 挖坑内壁 4 个面 − 1 个顶面
③ 两边对称挖 (一头一尾各挖一个)	V_新 = V_大 − 2×V_单洞	比 ① 还要 + 1 对内壁

💡 例 · 挖中间方洞:长方体长 5 dm 宽 4 dm 高 3 dm,中间挖一个 1 dm × 1 dm × 3 dm 的方洞(从头穿到尾)。
① 体积 = 5×4×3 − 1×1×3 = 60 − 3 = 57 dm³
② 表面积 = 原来 2×(20+15+12)=94;挖洞内壁 4×1×3=12 dm²;挖掉顶/底各 1 dm²,共 − 2;新表面积 = 94 − 2 + 12 = 104 dm²。
关键:挖空 = 内壁 4 个新面(是原来没有的),顶/底 2 个面(消失了,因为挖穿了)。所以净增加 12 − 2 = 10 dm²。

露在外面 + 涂色切小:N 个小正方体的组合

Exposed Faces & Color & Cut

把 N 个相同的小正方体堆在一起(像乐高),问"露在外面的面有几个"——这是经典题!

露在外面的面 = N × 6 − 被盖住的面 × 2

每相邻 2 个小正方体接触,会遮住 2 个面(1 个 + 1 个)
如果有 k 个"接触对"(2 个贴一起算 1 对),被遮 = 2k
例 1:3 个 1×1×1 小正方体排一排,接触 2 对,露 = 3×6 − 2×2 = 18 − 4 = 14 个面
例 2:4 个 1×1×1 小正方体摆成 2×2 一层,接触 4 对(横 2 + 竖 2),露 = 4×6 − 4×2 = 24 − 8 = 16 个面(底面 4 + 顶面 4 + 侧面 8)
例 3:8 个小正方体摆成 2×2×2 的正方体,外面 = 6×(2×2) = 24 个面(每个面 4 个小方块)

💡 例 · 2×2×2 摆法:8 个 1×1×1 摆成 2×2×2,顶面 4 个面,底面 4 个面,4 个侧面各 4 个面 = 6×4 = 24 个面在外面。每个外面的小方块面 = 1 cm²,所以外面面积 = 24 cm²。整个大正方体表面积也是 6×(2×2) = 24 cm²(每个面 4 个小方块)。

🎨 大正方体表面涂色,切成小正方体

把一个 n × n × n 的大正方体表面涂色,然后切成 n³ 个 1×1×1 的小正方体,每面被涂色的小正方体数有规律。这是奥数常考题:

涂色面数	位置	数量
3 面涂色	顶点上(角)	8 个(大正方体 8 个顶点)
2 面涂色	棱上(非顶点的棱中)	12(n − 2) 个
1 面涂色	每面中心(非棱非顶点)	6(n − 2)² 个
0 面涂色	内部(完全没露出来)	(n − 2)³ 个

💡 例 · 4×4×4 大正方体切小:涂色后切成 64 个 1×1×1 小正方体。
① 3 面涂色 = 8 个
② 2 面涂色 = 12×(4−2) = 24 个
③ 1 面涂色 = 6×(4−2)² = 6×4 = 24 个
④ 0 面涂色 = (4−2)³ = 8 个(藏在内核的 2×2×2 小正方体)
验算:8 + 24 + 24 + 8 = 64 ✓

5 个最容易踩的坑

5 Common Pitfalls

✗

长方体的 6 个面都相等 👉 长方体是「相对面」相等(3 组对面),不是 6 个都相等。 6 个面都相等的只有正方体(棱长都相等)。正方体是特殊长方体。

✗

棱长总和 = 棱长 × 6 👉 长方体棱长总和 = 4 × (长 + 宽 + 高),正方体 = 12a。 12 条棱分 3 组,每组 4 条同长,先求 1 组 = 长+宽+高,再乘 4。

✗

烟囱 / 通风管的表面积 = 2(ab + ah + bh) 👉 烟囱只有 4 个侧面 = 2(a + b)h(底面周长 × 高) 烟囱无上下底,不能套 6 个面的公式。同样,无盖鱼缸只有 5 个面。

✗

长方体切 1 刀表面积不变 / 合 1 块体积不变 👉 切 1 刀 +2 个面 · 合 1 块 −2 个面;体积永远不变(切合都是)。 "切"和"合"刚好相反,表面积变化方向相反,但切合过程体积守恒。

✗

本单元要考排水法 / 体积公式 / 单位换算 👉 本单元是「形状 + 表面积」;排水法 / 体积公式 / 单位换算 → 第四单元《长方体(二)》。别在这一页死磕体积单位进率!那都是第四单元的考点。

▣

TL;DR · 这一页先记住这 3 件事

The 3 Things to Remember

① 形状 Anatomy

6 面 / 12 棱 / 8 顶点;相对面相等,相对棱相等(每组 4 条);正方体是特殊长方体。棱长总和 = 4(a+b+h) 或 12a。

② 表面积 Surface

表面积 S = 2(ab+ah+bh) 或 6a²。看清是 6/5/4 个面(全封闭/无盖/烟囱/粉刷/泳池)。11 种展开图:1-4-1×6 + 1-3-2×3 + 2-2-2×1 + 3-3×1。

③ 切拼挖空 + 组合

切 1 刀 +2 面,合 1 块 −2 面,挖空 内壁多 4 面。N 个小正方体外面 = N×6 − 接触对×2。涂色切小:8 / 12(n-2) / 6(n-2)² / (n-2)³。

🧊 长方体(一) = 形状 + 表面积;
表面积算"皮"(糊纸要多大),切拼挖空算"形状怎么变",组合算"堆起来露几面"。

📘 参考:北师大版《数学》5 年级下册 · 第二单元「长方体(一)」 · 编排: WANG DI