项目式学习 · 探究课

修复铜镜

学习路线：考古情境引入 ➔ 折纸探寻法 ➔ 垂径作图法 ➔ 旋转补全法 ➔ 外接正方形法 ➔ 四法汇总 ➔ 说理应用 ➔ 4000年铜镜史 ➔ 核心口诀 ➔ 通关爆彩

情境导入来自汉代的神秘铜镜碎片 02 / 15

📜 考古修复紧急任务

考古学家在汉代古墓深处发掘出了一块精美的汉代青铜镜碎片。

博物馆希望利用现代 3D 打印技术将其重铸复原成完整的圆形铜镜。

核心挑战：在只剩下一段残弧的情况下，如何精准找出它原本的“圆心”？

第一阶段探索

第一关：折纸探寻法

如果这个残片印在一张纸上，我们能用什么最简单的方法找到圆心？

第一关利用“轴对称”找圆心 (一步一动演示) 04 / 15

步骤 1 (第一次对折)：将纸上的圆弧对折，使得两段圆弧边缘完全重合。展开后露出第一条折痕（对称轴）。
步骤 2 (第二次对折)：换一个方向再对折一次，使圆弧再次完全重合。展开得到第二条折痕。
步骤 3 (锁定圆心)：圆是对称图形，任意对称轴必过圆心。两条折痕的交点即为圆心 O！

说理时刻学生折纸探索 · 投屏说理展示区 05 / 15

📡 学生作品投屏展示中

🎤 邀请学生上台，从以下 3 个维度说理：

操作步骤：你是怎么对折的？两端圆弧有没有完全重合？
对称轴含义：折痕代表圆的什么？（圆的对称轴）
圆心确定：为什么两条折痕的交点就一定是圆心？

第二阶段探索

第二关：垂径作图法

真实出土的青铜碎片坚硬无比，无法折叠。
数学家如何在硬物上，像折痕一样精准找出对称轴？

第二关利用“弦与垂直平分线”找圆心 (精确画法) 07 / 15

步骤 1 (画弦)：在圆弧上任意选两点连成白色线段（画一条弦）；换个位置再画第二条弦。
步骤 2 (取中点)：用直尺分别量出两条弦的长度，标记出其中点（蓝点）。
步骤 3 (作垂直平分线)：过中点画垂直于弦的虚线。中垂线垂直于弦且必过圆心！
步骤 4 (锁定圆心)：两条垂直平分线在空中相交，交点即为圆心 O！

第三关第三法：旋转补全法 (旋转残片描补全圆) 08 / 15

步骤 1 (固定描弧)：将残片平放在纸上固定，紧贴残片的边缘描出一段弧线轮廓。
步骤 2 (旋转贴合)：慢慢旋转残片，保持残片的后部边缘与已画出的边线紧密贴合。
步骤 3 (顺次描接)：沿着新位置的边缘接续描线，依次连续旋转贴合。
步骤 4 (闭合成圆)：一整圈旋转结束，各段弧线自然连接，直接还原出完整的圆形！

💡 核心：保持残片边缘与已画出的边线无缝贴合！

第四关第四法：外接正方形对角线法 (对角交点定圆心) 09 / 15

步骤 1 (左上角卡直角)：利用直角三角板贴紧破损残弧的左上方，沿直角尺描出左侧切线与顶部切线。
步骤 2 (右上角卡位合围)：将三角板换到右上方同样紧贴残弧右侧边缘卡位，两尺夹住残弧最宽处，顺势合围出外切正方形！
步骤 3 (连结两条对角线)：连结正方形相对的两组顶点，画出两条交叉对角线。
步骤 4 (交点定圆心补全整圆)：两条对角线的交点正是原本的圆心 O！圆规以 O 为圆心，将缺失的下半圆完整画出！

📐 妙招：利用残弧左上角、右上角双尺卡位，下方虽残缺也能精准还原！

方法汇总图形不完整怎么画？——四种方案智慧大成 10 / 15

① 对折找圆心法（轴对称）

操作：拓印在纸上，换方向对折两次，两条折痕交点即为圆心。
适用：纸张、布料、轻便可折叠的物体。

② 垂直平分线法（垂径法）

操作：任意画两条弦，分别作垂直平分线，两线交点锁定圆心。
适用：硬质铜镜、石盘等坚硬不可折叠物体，几何作图首选！

③ 旋转补全法（动片贴合法）

操作：固定残片描弧，保持边缘与线贴合逐步旋转，一圈闭合成圆。
适用：手头有实体残片，无需作图工具即可快速还原整圆轮廓！

④ 外接正方形对角线法

操作：画出圆外切正方形，连结两条对角线，交点即圆心，圆规画圆。
适用：木工工艺、具有直角三角板工具时，快速定位中心。

说题说理挑战场景一：破损飞盘的中心定位 11 / 15

🥏 情境问题

小明有一个圆形飞盘，边缘不幸破损了一大块。他想在飞盘的正中心贴一个炫酷的标志，但找不到中心点。请你教教他该怎么做？

🎤 邀请学生上台说理（四法择优引导）：

维度 1 (四法择优)：面对塑料飞盘，四种方法中哪一种最简便快捷？（如：拓印对折法，或手持残片旋转补全法）
维度 2 (作图步骤)：如果用尺规作图，具体如何在飞盘背面画两条弦并作垂直平分线？
维度 3 (数学依据)：为什么交点就一定是飞盘的中心？

参考思路：
• 首选方法：飞盘轻巧，可拓印在纸上用对折法快速找圆心；或者用残片边缘旋转补全法直接描出整圆！
• 标准几何法：在飞盘背面画两条弦，用三角板作垂直平分线，两条线交点即为圆心。

说题说理挑战场景二：残缺圆桌的底座定位 12 / 15

🪵 情境问题

木匠师傅拿到了一块边缘残缺的圆形木板，需要在背面准确确定圆心位置，才能安装桌腿支架。这在工业制造中称为“无圆心定位”。

🎤 邀请学生上台说理（四法择优引导）：

维度 1 (四法择优)：木板厚重坚硬无法对折，四种方案中哪种最适合木工操作？（垂径中垂线法或外接正方形法）
维度 2 (工具应用)：木工直尺和直角角尺如何配合画出弦和垂直平分线？
维度 3 (工业价值)：掌握利用几何对称性找圆心的方法，对现代精密制造有什么重大意义？

参考思路：
• 首选方案：实物厚木板无法对折，推荐使用垂直平分线法或外接正方形对角线法。利用木工角尺快速测定垂直平分线，交点即为底座安装中心点，精度最高！

文化传承鉴古知今：人类使用铜镜的 4000 年文明史 13 / 15

齐家文化青铜镜

约公元前2000年

距今约 4000 年前，甘肃齐家文化墓葬中出土了中国迄今发现最早的青铜镜之一（七角星纹铜镜）。背面带纽，正反规整为极精确的同心圆结构，展现了新石器时代晚期华夏先民对“圆”的完美掌握。

甘肃广河齐家坪出土 · 国家一级文物

“中国大宁”汉代青铜镜

西汉时期

中国国家博物馆珍藏的西汉神兽镜，镜缘铸有铭文“中国大宁，子孙益昌”。圆不仅是一件照面日用器物，更寄托着千百年来中华民族“团圆、圆满、四海归一”的深厚家国情怀！

中国国家博物馆藏 · “中国”字样早期珍贵物证

归纳总结核心知识与口诀归纳 14 / 15

📜 本课记忆口诀宝典

残缺圆弧找圆心，巧用对称有回音。

纸片可折交点现，硬物画弦作垂线。

边缘贴合旋转画，外接方阵对角联。

四千年镜映神州，圆满智慧传万年！

胜利通关！

恭喜你！成功掌握利用圆的对称性寻找到圆心的四大绝学！