六 年 级 数 学 上 册 · 北 师 大 版
课件主题：分数除以整数的算理探究与法则归纳
写出下列各数的倒数：
1. 同分母分数加减法： 分母不变，分子相加减。
—— 17 + 37 = 47 —— 910 - 310 = 610 = 35（注意要约分成最简分数！）
2. 求倒数的方法： 分子分母颠倒位置。整数可看作分母为 1 的分数（如 \(5 = \frac{5}{1}\)）。
—— 23 ➔ 32 —— 5 ➔ 15 —— 18 ➔ 8
观察左图：涂色部分占全部的 45。平均分成2份，怎么分？
方法一（分子整除）：
把 4 个 15 平均分成 2 份，每份就是 2 个 15，即 25。
45 ÷ 2 = 4 ÷ 25 = 25
方法二（乘倒数法）：
把 45 平均分成 2 份，每份实际上就是求 45 的 12 是多少。求一个数的几分之几用乘法计算：
45 ÷ 2 = 45 × 12 = 410 = 25
此时，分子 4 不能被除数 3 整除！第一种方法碰壁了。
思考： 既然没法直接除，我们把每一份都横向切成 3 份。那么整张纸就被细分成了：
5 × 3 = 15 （等份）
原本涂色的 4 大格，变成了 12 个小格。平均分成 3 份，每份分得小格数：
12 ÷ 3 = 4 （格）
4 个小格占整张纸的 415。
用算式表示： 把 45 平均分成 3 份，相当于求 45 的 13 是多少。
45 ÷ 3 = 45 × 13 = 415
当分子不能被整除时，利用“乘这个整数的倒数”的方法依然管用，且非常简便！
对比前两道算式的求解过程，我们发现什么规律？
45 ÷ 2 = 45 × 12 = 25
—— 相当于把原数乘以 2 的倒数 12。
45 ÷ 3 = 45 × 13 = 415
—— 相当于把原数乘以 3 的倒数 13。
无论分子是否能够被整数整除，分数除以整数都可以转化为“乘该整数的倒数”来进行计算。这就是分数除法的通用法则！
💡 思考：为什么除数不能是 0 呢？（因为 0 没有倒数，且在除法中除数不能为 0。）
先在下图中涂一涂，再算一算。
涂色指导：先画 7 等分取 3 份，再把这 3 份平均分成 3 份，取其中 1 份。
涂色指导：先画 6 等分取 5 份，再横向对折切成 2 份，取其中 1 份。
(1) 解答过程：
分子 3 能够被除数 3 整除，可以直接除：
37 ÷ 3 = 3 ÷ 37 = 17
(2) 解答过程：
分子 5 无法被除数 2 整除，乘以 2 的倒数：
56 ÷ 2 = 56 × 12 = 512
填一填，算一算，注意计算过程要记得约分哦！
910 ÷ 3 = 910 × （ ） = （ ）
38 ÷ 6 = 38 × （ ） = （ ）
约分小贴士： 计算时，可以在乘积的式子里先进行约分，这样会让后面的相乘算起来很轻松！
算式 ①： 910 ÷ 3 = 910 × 13 = 310
算式 ②： 38 ÷ 6 = 38 × 16 = 116
35 ÷ 4 = （ ? ）
通过涂色，我们可以直观地看到：整个矩形被横向 4 等分，纵向 5 等分，总共有 20 格。
原本占 3 列的 35 被平均分成 4 份，每份占其中 1 行，也就是 3 个小格，即占整张纸的 320。
算理推导过程：
35 ÷ 4 = 35 × 14 = 320
分子 3 与除数 4 无法整除，转换为乘法后分母相乘得到 20。
一根铁丝长 89 米，如果把它平均分成 4 段，每段铁丝长多少米？
列式：_________________
一瓶可乐有 34 升，平均分给 3 个小朋友，每个小朋友分得多少升？
列式：_________________
应用题 ① 解析：
89 ÷ 4 = 89 × 14 = 29 （米）
（计算中先约分，更方便）
应用题 ② 解析：
34 ÷ 3 = 3 ÷ 34 = 14 （升）
（分子能被整除，直接用除法）
在分数除法中，我们把“除以一个整数”转化成“乘这个数的倒数”，主要有三种极简的理解视角：
在学习数学的过程中，解决新问题最核心的法宝就是：
把【新知识】 ➔ 转化为 【已掌握的旧知识】
今天，我们把还不懂的“分数除法”，成功转化成了已经学过的“分数乘法”来计算，这就是极为重要的“转化思想”！
在做题中，这三类错误最容易发生，我们要时刻警惕：
| 错误类型 | 错误案例 | 正确算式 | 错因剖析 |
|---|---|---|---|
| ⚠️ 忘变倒数 | 35 ÷ 2 = 35 × 2 = 65 | ✔ 35 × 12 = 310 | 把除号变成了乘号，但除数却忘记变倒数了。 |
| ⚠️ 被除数也变倒 | 35 ÷ 2 = 53 × 12 = 56 | ✔ 35 × 12 = 310 | 连被除数（前面的数）也一起颠倒了。被除数必须保持不变！ |
| ⚠️ 分子分母同时除 | 45 ÷ 3 = 4 ÷ 35 ÷ 3 | ✔ 45 × 13 = 415 | 当分子不能整除时，误用了分数的性质同时去除了以整数。 |
算一算下列各题：
如果一个分数的分子保持不变，分母乘以 3，这个分数的大小会发生什么变化？
想一想，能不能用今天所学的分数除以整数的法则，来解释这个变化规律呢？
基础练习答案步骤：
1) 67 ÷ 3 = 67 × 13 = 27
2) 58 ÷ 10 = 58 × 110 = 116
3) 125 ÷ 6 = 125 × 16 = 25（米）
挑战题解题思路：
分母乘以 3，分数值会缩小为原来的 13。
代数分析：分母乘 3 得到的数是 ab × 3。这等同于：
ab × 13 = ab ÷ 3
所以分母乘以 3 的效果等同于将原分数除以 3。
分数除以整数的“三步走”程序，你还熟悉吗？
前面的分数（被除数）在计算中必须保持原样不动。
除号（÷）必须写成乘号（×）。
后面的整数（除数）必须变成它的倒数，如 3 变成 13。
分子 5 可以直接除以除数 5，分母保持不变：5 ÷ 56 = 16。也可以用乘以倒数的方法：56 × 15 = 16（通过交叉约分消去 5）。计算结果应该写为最简分数形式，而 C 项未约分。
依据分数除法计算规则：分数除以整数，等于乘这个整数的倒数。因为除数是 2，它的倒数是 12，而被除数 37 保持不变，所以有 37 ÷ 2 = 37 × 12，因此正确答案为 C。
这是一个极具迷惑性的典型细节判断题。分数除以整数时，一定要注意前提条件“0除外”。这是因为：1) 0 在除法中不能作除数；2) 0 没有倒数。所以原命题因缺少“0除外”条件而不正确，答案应选 B。
考前快速记忆口诀：
课后检查做错的练习题。用红笔标出自己是哪一步出错了：
1. 变了乘号但忘记把整数变倒数？
2. 把前面的被除数颠倒了？
3. 计算后忘记约分？
利用课后时间，自己出 5 道分数除以整数的算式（如 37 ÷ 4），进行快速口算，保持大脑的算理逻辑思维活跃度。
思考：如果被除数不变，除数变成“分数”（例如 45 ÷ 23），我们还能用乘倒数的方法进行计算吗？
请尝试阅读下节课的内容！
数学是思维的体操，多思多练，祝大家都能成为数学小达人！