六 年 级 数 学 上 册 · 北 师 大 版
课件主题：整数除以分数的算理探究与通用法则总结
算一算，想一想它们是怎样计算的：
快速说出下列各数的倒数：
分数除以整数的计算法则： 分数除以一个整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
—— 67 ÷ 3 = 67 × 13 = 27 —— 38 ÷ 2 = 38 × 12 = 316
—— 23 的倒数是 32，54 的倒数是 45，整数 6 的倒数是 16。
我们可以列出除法算式：4 ÷ 12 = ？
结合左图分饼来理解：
1 张饼平均分成 2 份，可以分给 2 个人。
那么，4 张大饼一共可以分成多少份？
分饼想法：
4 张饼里有：4 × 2 = 8 个 12 张饼。
所以可以分给 8 个人。
根据分饼图的实际过程，我们得出：
4 ÷ 12 = 4 × 2 = 8（人）
思考：这里的“乘 2”里的“2”和除数 12 有什么特别的关系？
这里的“2”其实就是除数 12 的倒数！
把 4 个苹果每人分半个，能分给 8 人。
相当于求 4 里面有几个 12。
4 ÷ 12 ➔ 转化为 ➔ 4 × 2 = 8
数形结合的解析：
因为 1 张饼里面有 2 个半张饼，4 张饼里所包含的半张数就是 4 的 2 倍，即 4 × 2 = 8 份。
所以除以 12 在数值上等同于乘以其分母 2（也就是乘以 12 的倒数）。
列出除法算式为：4 ÷ 23 = ？
思考：
1 张饼均分成 3 份，每份是 13。
4 张饼一共可以分成 4 × 3 = 12 个小块。
每人分 23 张（即 2 小块），能分给多少人？
分饼想法：
总块数：4 × 3 = 12 块
分得的人数：12 ÷ 2 = 6（人）
结合前面的分饼块数分析：
4 ÷ 23 = 4 × 3 ÷ 2 = 4 × 32 = 4 × 32 = 6（人）
对比两端式子，发现：
4 ÷ 23 = 4 × 32 = 6
除号变乘号，除数变成了它的倒数！
这进一步验证了：除以一个分数等于乘它的倒数。
算理深化：
“4 × 3” 表示先把 4 张饼全部细分为以 13 为基本单位的小扇面，共有 12 份；
“÷ 2” 表示因为每人要拿 2 份，所以把这 12 份每 2 份合并分给一个人，得到结果为 6。
数学公式上：先乘 3 再除以 2，这相当于乘上 32（即 23 的倒数）。
甲数除以乙数（0除外），
等于甲数乘乙数的倒数。
字母公式： A ÷ BC = A × CB ( B, C ≠ 0 )
这个法则是否对所有分数除以分数同样适用？
计算下面两题：
依照法则，把除数求倒数相乘：
题 ①：34 × 2 = 32
题 ②：45 × 32 = 65
结论：该计算法则完全通用！
不管是整数除以分数、分数除以整数，还是分数除以分数，所有的除法运算都可以一概转变为“乘以除数的倒数”。
这完美体现了数学的“统一美”，以后遇到分数除法，都可以用这个方法解决。
| 当除数范围是… | 商与被除数的关系 | 典型算式举例 |
|---|---|---|
| 小于 1 (非0) | 商 ＞ 被除数 | 4 ÷ 23 = 6 （6 ＞ 4） |
| 等于 1 | 商 ＝ 被除数 | 4 ÷ 1 = 4 （4 ＝ 4） |
| 大于 1 | 商 ＜ 被除数 | 4 ÷ 32 = 83 （83 ＜ 4） |
算一算，注意先约分后乘积：
求出空格中的数：
口算解析：
① 12 ÷ 34 = 12 × 43 = 4 × 4 = 16
② 6 ÷ 910 = 6 × 109 = 2 × 103 = 203
方程填空解析（乘法的逆运算是除法）：
① 括号数 = 6 ÷ 34 = 6 × 43 = 2 × 4 = 8
② 括号数 = 15 ÷ 58 = 15 × 85 = 3 × 8 = 24
在圆圈内填上“＞”、“＜”或“＝”（不计算）：
判断正误，并说出理由：
比较大小分析（依据商与被除数规律）：
① 除数 54 ＞ 1，所以商小于被除数 10，填 ＜。
② 除数 23 ＜ 1，所以商大于被除数 8，填 ＞。
③ 除数 12 ＜ 1，所以商大于被除数 34，填 ＞。
对错判定解析：
① 错误 ❌。如果除以的分数是真分数（如 12）商会变大，但如果是假分数（如 54）商会变小。
② 错误 ❌。必须加上限定条件：“除数不能为 0”（即乙数不为 0）。
列式：3 ÷ 34 = ？
结合左侧数轴刻度：
在 3 米里，我们可以分出 12 个 14 米。
每段长 34 米，那就是每 3 个小格凑成 1 段。
那么，12 个小格里一共能数出几段？
图形数段法：
总段数 = 12小格 ÷ 3小格/段 = 4 段
计算推导：3 ÷ 34 = 3 × 43 = 4（段）
题目：一头游隼在空中追逐猎物，它飞行 12 分钟前进了 2 千米。它平均每分钟飞行多少千米？
关系式：速度 = 路程 ÷ 时间
列式：2 ÷ 12 = （ ）千米
题目：一台大型自动割草机 23 小时可以收割一片 4 公顷的草地。平均每小时收割草地多少公顷？
关系式：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
列式：4 ÷ 23 = （ ）公顷
解答与解析：
1. 行程问题：
—— 2 ÷ 12 = 2 × 2 = 4（千米） 答：游隼平均每分钟飞行 4 千米。
2. 工程问题：
—— 4 ÷ 23 = 4 × 32 = 2 × 3 = 6（公顷） 答：平均每小时收割草地 6 公顷。
已知： a 和 b 是两个大于 0 的数，且满足以下关系式：
a ÷ 43
= b ÷ 34
请问：a 和 b 相比，哪一个数更大？
💡 推导线索：
1. 将除法统一转化为乘法： a × 34 = b × 43
2. 比较乘数的大小： 34 ＜ 1（真分数） ，而 43 ＞ 1（假分数）
3. 乘积相等的两个数，“乘数越小，被乘数越大”。因为 34 ＜ 43，所以 a ＞ b。
| 当除数范围是… | 商与被除数的关系 | 典型算式举例 |
|---|---|---|
| 小于 1 (非0) | 商 ＞ 被除数 | 4 ÷ 23 = 6 （6 ＞ 4） |
| 等于 1 | 商 ＝ 被除数 | 4 ÷ 1 = 4 （4 ＝ 4） |
| 大于 1 | 商 ＜ 被除数 | 4 ÷ 32 = 83 （83 ＜ 4） |
分数除法变乘法，被除数不变照样写；
除号换成乘号看，除数颠倒倒数算；
能约分的先约分，乘积结果写最简。
（核心要点：被除数不变化，除号变乘号，除数变成自身的倒数，然后约分乘出最简分数）
（核心要点：被除数不变化，除号变乘号，除数变成自身的倒数，然后约分乘出最简分数）
（第一步保持被除数原样，第二步把除号改成乘号，第三步除数分子分母调换，最后完成约分乘积）
趣味思考题：
一根绳子长 34 米，如果第一次剪去它的 12，第二次剪去 12 米。这两次剪去的绳子长度一样吗？为什么？
挑战题提示：
不一样长！
1. 第一次剪去“它的 12”，是将这根绳子看作单位“1”进行的比例剪裁，实际剪裁长度 = 34 × 12 = 38 米。
2. 第二次剪去的是“12 米”，这是一个具体携带单位的物理长度值，即 12 = 48 米。
因为 48 米 ＞ 38 米，所以第二次剪去的绳子更长！一定要区分清楚分率（无单位）与具体物理量（带单位）的区别。
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学习寄语：多思、多练、精研、深悟！